ANDRE ORDENS SYSTEM

• Bilde av simulatorens frontpanel
• Hva trengs for å kunne kjøre simulatoren? Les for å få siste informasjon!
• Tips for bruk av simulatoren
• Simulatoren: andre_ordens_system.exe (klikk for å laste ned). Simulatoren kjører umiddelbart etter nedlasting ved å trykke Åpne i nedlastingsvinduet. Alternativt kan du først lagre en kopi av exe-filen på en selvvalgt katalog på PC'en og deretter kjøre exe-filen, hvilket starter simulatoren.

Beskrivelse av systemet som skal simuleres

I denne laben simuleres - og plottes - utgangssignalet av et standard andre ordens system. Brukeren kan justere inngangssignalet (f.eks. som et sprang) og systemets parametre. Også polplasseringen plottes på simulatorens frontpanel.

Systemet kan representeres med følgende transferfunksjon fra inngangen u til utgangen y:

h(s) = y(s)/u(s) =  Kw₀²/(s² + 2zw₀s + w₀²)

der

• K er forsterkningen
• z er relativ dempningsfaktor
• w₀ er udempet resonansfrekvens

Simuleringen er realisert vha. Runge-Kuttas 2. ordens metode med tidsskritt lik 0,02 sek.

Målet med denne laben

Målet er å utvikle en forståelse av hvordan forsterkningen K, den relative dempningsfaktoren z og den udempede resonansfrekvensen w₀ påvirker tidsresponsens form (fortrinnsvis responsen etter et sprang på inngangen) og systemets polplassering.

Motivasjon

Andre ordens systemer - som første ordens systemer - utgjør en viktig klasse av dynamiske systemer: Mange systemer er dynamisk sett tilnærmet andre ordens systemer, f.eks.

• masse-fjær-demper-systemer
• termiske prosesser i form av blandetanker med termisk kapasitans i både væsken og heteelementet
• likestrømsmotorer med dynamikk i ankerkretsen
• hydrauliske motorer med hydraulisk resonans
• tilbakekoplede reguleringssystemer
• sensorer
• andre ordens lavpassfiltere.

Teorigrunnlag

Teorigrunnlaget for andre ordens systemer beskrives ikke her. Det er beskrevet i alle bøker som beskriver teorigrunnlaget for reguleringsteknikk og dynamiske systemer. Jeg tillater meg å nevne boken Dynamiske systemer - modellering, analyse og simulering.

Forslag til oppgaver

Merk: Likhetstegnet "=" benyttet flere steder nedenfor kan betraktes som "tilnærmet lik", hvilket innebærer at du ikke nødvendigvis trenger å angi eksakte tallverdier i de aktuelle elementene på labens frontpanel.

Nedenfor representerer U høyden av et sprang på inngangen u.

1. Betydningen av K: Sett U = 1, z = 0,2 og w₀ = 0,5. Spranghøyden i u skal være 2. Observer sprangresponsen i y for forskjellige verdier av K, både positive og negative verdier.
   1. Hvordan påvirker K den stasjonære verdien av sprangresponsen, y_s?
   2. Hvordan påvirker K polplasseringen?
   
   
2. Betydningen av  z: Sett U = 2, K = 1, w₀ = 0,5.
   1. Det er vanlig å klassifisere andre ordens systemer etter verdien av z slik:
      • z > 1: Systemet er overdempet.
      • z = 1: Systemet er kritisk dempet.
      • 0 < z < 1: Systemet er underdempet eller oscillatorisk.
      • z = 0: Systemet er udempet eller rent oscillatorisk.
      • z < 0: Systemet er ustabilt.

      Observer sprangresponsen i y for verdier av z innenfor ovennevnte områder. Hva er karakteristisk for de respektive sprangresponsene?

   2. Sprangresponsens oversvingsfaktor d er definert som forholdet mellom sprangresponsens maksimal oversving, y_maks - y_s, og sprangresponsens stasjonærverdi, y_s:

      d = (y_maks - y_s)/y_s

      Observer sprangresponsen i y for forskjellige verdier av z. Hvordan avhenger oversvinget kvalitativt av z?

   3. Finn spesielt oversvinget for z = 0, 0,6 og 1.
   4. Hvordan avhenger verdien av stasjonære sprangresponsen, y_s, av z?
   5. Hvordan avhenger systemets stabilitet av z?
   6. Hvordan avhenger polplasseringen (kvalitativt) av z?
   
   
3. Betydningen av w₀: Sett U = 1, K = 2, z = 0,2. Observer sprangresponsen i y for forskjellige w₀.
   1. Hvordan avhenger den stasjonære sprangresponsen av w₀?
   2. Hvordan avhenger (kvalitativt) oversvinget d av w₀?
   3. Responstiden T_r kan defineres som den tiden det tar for sprangresponsen å nå 63% av y_s. (T_r kan brukes for å karakterisere alle typer dynamiske systemer - ikke bare andre ordens systemer.) Det kan vises at for udempede andre ordens systemer gjelder tilnærmet

      T_r = 1,5/w₀

      Stemmer denne formelen noenlunde med dine observasjoner? Hvordan avhenger systemets "hurtighet" av w₀ - er det raskere jo større w₀ er?

   4. En annen måte å observere systemets "hurtighet" på, er gjennom å se hvor raskt eller nøyaktig utgangen klarer å følge en varierende u. Juster u tilnærmet sinusformet (velg selv periode, men ca. 10 sek burde være brukbart). Observer hvordan y klarer å følge u for forskjellige w₀. Hvordan avhenger systemets "hurtighet" av w₀? Stemmer dette med resultatet i deloppgaven ovenfor?
   5. Hvordan avhenger polplasseringen (kvalitativt) av w₀?
   
   
4. Betydningen av spranghøyden U: Sett K = 2, z = 0,2 og w₀ = 0,5. Observer sprangresponsen i y for forskjellige U. Hvordan avhenger den stasjonære verdien av sprangresponsen, y_s, av U?
   
5. Hvordan avhenger polplasseringen av U?

[KYBSIM] [TechTeach]

Oppdatert 27.10.03. Utviklet av Finn Haugen. E-postadresse: finn@techteach.no.