FREKVENSRESPONS-
ANALYSE AV
REGULERINGSSYSTEM

• Bilde av simulatorens frontpanel
• Hva trengs for å kunne kjøre simulatoren? Les for å få siste informasjon!
• Tips for bruk av simulatoren
• Simulatoren: frekresp_regsyst.exe (klikk for å laste ned). Simulatoren kjører umiddelbart etter nedlasting ved å trykke Åpne i nedlastingsvinduet. Alternativt kan du først lagre en kopi av exe-filen på en selvvalgt katalog på PC'en og deretter kjøre exe-filen, hvilket starter simulatoren.

Innledning

Prosessen som reguleres

Prosessen består kort sagt av to 1. ordens systemer i serie med en tidsforsinkelse og med en forstyrrelse som påvirker prosessen på samme sted som pådraget dynamisk sett. Prosessmodellen er

y(s) = H_u(s)u(s) + H_v(s)v(s)

der transferfunksjonen H_u(s) fra pådraget u til prosessutgangen y er

H_u(s) = K_u(e^-ts)/[(T₁s + 1)(T₂s + 1)]

og transferfunksjonen H_v(s) fra forstyrrelsen d til prosessutgangen y er

H_v(s) = K_v(e^-ts)/[(T₁s + 1)(T₂s + 1)]

der

• K_u = 1 er prosessforsterkningen.
• K_v = 1 er forstyrrelsesforsterkningen.
• T₁ og T₂ er tidskonstanter.
• t = 1 [sek] er tidsforsinkelsen.

Parameterverdiene angitt ovenfor er nominelle verdier, men brukeren kan justere disse mens simuleringen pågår.

Det nominelle arbeidspunktet

Det nominelle arbeidspunktet er karakterisert ved at

• prosessutgangen y er 50 (enheten er ikke spesifisert, men den kan f.eks. være grader C)
• forstyrrelsen v er 10

Det nominelle pådrag, u₀, som er pådragsverdien som holder prosessen i det nominelle arbeidspunktet, blir 40% (hvilket kan beregnes fra prosessmodellen).

Måleelementet

Måleelementet M har følgende funksjon (målefunksjon):

y_m = K_m(y - y₀)

der

• K_m = 1 er måleforsterkningen. 
• y₀ = 0 er nedre verdi av prosessutgangen i måleområdet.

Måleelementets transferfunksjon blir da 

H_m(s) = K_m

Ovenstående målefunksjon benyttes for å beregne referanseverdien i måleenheten (typisk prosent) ut fra referansen i den aktuelle fysiske enheten (f.eks. grader C), dvs.:

r_m = K_mr(r - r₀)

Den tilsvarende transferfunksjonen blir da 

H_mr(s) = K_mr

På frontpanelet i denne laben kan man justere alle parametrene ovenfor. Normalt skal K_m og K_mr være like, og y₀ og  r₀ være like (men i laben skal man bl.a. se på konsekvensene av at disse verdiene allikevel ikke er like).

Regulatorfunksjoner

PID-regulatoren som benyttes i denne laben, er beskrevet her.

Regulatorens transferfunksjon (fra reguleringsavviket e til pådraget u) er

H_r(s) = K_p [1+1/(T_is)+T_ds/(aT_ds+1)]

Transferfunksjonsmodeller for reguleringssystemet

Reguleringssystemets sløyfetransferfunksjon er

H₀(s) = H_m(s)H_r(s)H_p(s)

Reguleringssystemets følgeforhold er

M(s) = y(s)/r(s) = [H_mr(s)H_r(s)H_p(s)]/[1 + H₀(s)] =
 [H₀(s)]/[1 + H₀(s)]

dersom H_mr(s) = H_m(s), hvilket er vanlig.

Reguleringssystemets sensitivitetsfunksjon er

N(s) = 1/[1 + H₀(s)]

Mål

Målet med denne laben er å få økt innsikt i sammenhengen mellom et PID-reguleringssystems egenskaper i tidsplan og frekvensplan.

Motivasjon

Frekvensresponsanalyse gir et godt uttrykk for et reguleringssystems dynamiske egenskaper. Frekvensrespons kan også brukes som utgangspunkt for design, dvs. utvikling av regulatorfunksjoner og innstilling av PID-regulatorer. Selv om en ikke bruker slike frekvensresponsbaserte designmetoder (men i stedet f.eks. en eksperimentell metode), vil frekvensresponsanalyse fremdeles være nyttig og gi god innsikt i reguleringssystemets egenskaper.

Oppgaver

I oppgavene nedenfor (med mindre annet er opplyst) skal utgangspunktet være at prosessen befinner seg i det normale eller nominelle arbeidspunkt, som er definert ovenfor.

1. Innstilling av regulatorparametrene:

   Finn brukbare parametre for en P-, en PI- og en PID-regulator med f.eks. Ziegler-Nichols' lukket-sløyfemetode.

    

2. Statiske følgeegenskaper:
   1. Karakteriser kvalitativt reguleringssystemets statiske følgeegenskaper (som avlest både fra følgeforholdets og fra sensitivitetsfunksjonens amplitudefunksjon) ved bruk av P-, PI- hhv. PID-regulator.
   2. Velg P-regulator. Hva skjer med reguleringssystemets statiske følgeegenskaper dersom du øker regulatorsterkningen K_p. Stemmer dette med hva en simulering viser?

    

3. Dynamiske følgeegenskaper:
   1. Finn -3-dB-båndbredden ved bruk av P-, PI- hhv. PID-regulator. Hvilken regulator gir høyest båndbredde?
   2. Velg PID-regulator. Du kan sette biasen yr0 lik 50 og amplituden Ar lik 5. Kjør en simulering med sinuskomponent i referansen som bekrefter at båndbredden er som avlest i deloppgave a.
   3. Velg PID-regulator. Kjør en simulering med referansefrekvens w_r under hhv. over båndbredden. Karakteriser den kvalitative sammenhengen (overensstemmelsen) mellom referansen og prosessutgangen ved disse to frekvensene.
   4. Velg PID-regulator. Anslå reguleringssystemets responstid T_r ut fra båndbredden. Stemmer denne T_r noenlunde med responstiden du finner fra en simulering?

    

4. Statiske kompenseringsegenskaper (reguleringsegenskaper):
   1. Velg PID-regulator. På hvilken måte uttrykker formen på |N(jw)|-kurven at reguleringssystemet har perfekte statiske reguleringsegenskaper? (Det oppgis at det ikke er noen ren integrasjon fra forstyrrelsen v til prosessutgangen y.)
   2. Bekreftes resultatet i deloppgave med en simulering?

    

5. Dynamiske kompenseringsegenskaper (reguleringsegenskaper):
   1. Velg PID-regulator. Referansen skal være konstant, f.eks. lik 50. Kjør følgende to simuleringer med sinusformet forstyrrelse med forstyrrelsesfrekvens w_d mindre ennbåndbredden (f.eks. 0,1 rad/s): Den ene simuleringen skal være i åpen sløyfe, dvs. at regulatoren er i manuell-modus, den andre i auto-modus. Beregn forholdstallet mellom amplitudene i responsen i y fra de to simuleringene. Er dette forholdstallet i overensstemmelse med |N(jw)|-kurven?
   2. Som deloppgave a, men forstyrrelsesfrekvensen skal nå være større enn båndbredden (f.eks. 2 rad/s).

    

6. Stabilitet:

   Velg PID-regulator.

   1. Les av reguleringssystemets stabilitetsmarginer (forsterkningsmargin og fasemargin). Har de rimelige verdier?
   2.  
      1. Øk regulatorforsterkningen inntil reguleringssystemet blir marginalt stabilt som sett fra tidsresponsen. Hvordan ser da amplitudefunksjonen |M(jw)| ut?
      2. Les av amplitudekryssfrekvensen w_c. Er den da lik fasekryssfrekvensen w₁₈₀? 
      3. Beregn periodetiden i reguleringssystemets tidsrespons ut fra  w_c. Stemmer denne beregnede periodetiden med den du observerer i tidsresponsen?
      4.  
   3. La PID-regulatoren ha brukbare parameterverdier. Observer hvordan sløyfetransferfunksjonens frekvensrespons (både amplitudeforsterkningsfunksjon og fasefunksjon) varierer når du øker prosessforsterkningen og (deretter) når du øker prosessens tidsforsinkelse. Hvordan går det til slutt med reguleringssystemets stabilitetsmarginer?

[KYBSIM] [TechTeach]

Oppdatert 27.10.03. Utviklet av Finn Haugen. E-postadresse: finn@techteach.no.